[Deu/Eng] Cone Challenge

Im letzten Post habe darüber berichtet, wie ich meine Schüler mit Münzen an das Volumen von Zylindern herangeführt habe. Gestern habe ich sie mit dem Volumen von Pyramiden belustigt. Da das Volumen einer Pyramide in ein Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe 3 mal in das Prisma passt, ist die Idee einen Umkipp-Schülerversuch zu machen naheliegend. Gedacht getan. Ich kann euch nur so viel verraten: Es ist nicht die allerbeste Idee ca. 14jährige Wasser zum "Spielen" in die Hand zu geben. Da ich 3 Klassen der selben Sorte habe, bin ich dann mit der 3. Klasse in den Chemieraum gegangen, welcher das geplansche besser verkraftet hat. LOOL Dennoch war es im großen und ganzen ein gelungener Schülerversuch.

Für morgen steht aber die Challenge Kegel auf dem Programm. Da das Schuljahr nicht mehr lange geht, ist mein Plan Volumen und Oberfläche in einer Unterrichtsstunde abzuhandeln. Natürlich könnte man das Volumen vom Kegel auch über Abfüllen präformal herleiten. Denn das Kegelvolumen passt auch 3 mal in einen Zylinder. Das werde ich auch tun. Allerdings lass ich das diesmal nur einen Schüler vorne vorführen. Sonst gehen der Schule noch die Papiertücher aus. LOOL Bei der Oberfläche bin ich über eine interessante Frage gestolpert. Stellt euch vor ihr habt einen Kegel und wickelt die Mantelfläche ab. Ihr könnt euch auch vorstellten, dass ihr einen Partyhut aufschneidet und dann ausbreitet. Für meine Schüler wird die erste Frage sein, was man dabei erhält. Na wisst ihr es schon? Richtig, einen Kreisausschnitt. Ein Teil von einem Kreis. Aber das ist noch nicht die Frage, auf die ich hinaus will. Wie groß ist dieser Kreis eigentlich? Ist es ein Halbkreis? (Das denken relativ viele Leute) Sind es 42% eines Kreises? Sind es 73% eines Kreis? Die Frage ist garnicht so leicht zu beantworten. Damit wir ein paar Variablen und was zum anschauen haben, habe ich mich mal bei Wikipedia bedient.

So sieht unser Partyhut ausgebreitet aus. Links seht ihr ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s. Unser Kreisausschnitt hat s als Radius und den Umfangen der Grundfläche des Kegels als Teilumfang des Vollkreises mit Radius s. Wenn man jetzt wissen wollte wie viel Teilumfang wir vom ganzen Kreis haben, müsste man den Mittelpunktswinkel α (Das ist der Winkel um den Mittelpunkt S bezogen auf die graue Fläche.) durch 360° teilen. Hätten wir zum Beispiel α=180° (Halbkreis) und würden das durch 360° teilen würden wir auf das Verhältnis 1/2 kommen. Es wären also 50% des Vollkreises. Das Verhältnis von α zu 360° ist aber beim Kegel das selbe wie der Umfang der Grundfläche des Kegels zu unseren Teilumfang. Wir müssen also folgendes rechnen:

So und jetzt haben wir DIE FRAGE beantwortet. LOOL Klein Scherz am Kegel. Das Verhältnis ist also r/s. Da wollen wir noch ein wenig drüber nachdenken. Wann hätten wir denn beim Aufklappen eines Kegels genau einen Halbkreis? Ihr sagt es. Wir hätten einen Halbkreis, wenn s doppelt so groß ist wie r. Sagt uns dieses Verhältnis noch mehr. Was wäre denn wenn ich s konstant halten würde und r größer oder kleiner mache? Diese Antwort wollen wir uns noch gönnen. Meine Schüler müssen leider darauf verzichten, da sie die Mathematik dafür erst in 2 Jahren kennen werden. Ich hatte ja erwähnt das s auch die Hypotenuse in dem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten r und h ist. Schauen wir uns mal den Winkel φ an. Was passiert eigentlich, wenn man s konstant lässt und nur φ ändert? Das würde natürlich r ändern. (Natürlich darf sich unser φ nur zwischen 0° und 90° bewegen.) Und wisst ihr wie man diese Änderung nennt? Das ist gerade der Sinus von φ. Da r die Gegenkathete zu φ ist und s die Hypotenuse, handelt es sich bei dem Verhältnis r/s gerade um den sin(φ). Ändern wir unser φ zum Beispiel von 45° auf 60°, hätten wir den Mantleflächenkreisausschnitt von knapp 71% auf 87% erhöht. Übrigens da sin(30°)=1/2, hätten wir mit φ=30° genau einen Halbkreis. Auf meinen Kopf würde so ein Partyhut allerdings nicht passen. LOOL